Halloweenová matika, 2.

2. Systematický prístup

Krok 1: Vytvorenie sústavy rovníc

Pretože sme si na začiatku jednotlivé príšerky označili písmenami (A, B, C, D), môžeme zostaviť sústavy rovníc tak pre riadky, ako aj pre stĺpce. V oboch prípadoch pôjde o sústavu 4 rovníc o 4 neznámych.

Riadky

  1. A + B + C + A = 9 -> 2xA + B + C = 9
  2. D + B + D + C = 11 -> 2xD + B + C = 11
  3. C + A + A + B = 8 -> 2xA + B + C = 8
  4. D + A + C + B = 10 -> D + A + B + C = 10

Stĺpce

  1. A + D + C + D = 13 -> A + 2xD + C = 13
  2. B + B + C + A = 7 -> 2xB + C + A = 7
  3. C + D + A + C = 11 -> 2xC + D + A = 11
  4. A + C + B + B = 7 -> A + 2xB + C = 7

Krok 2: Výber rovníc na riešenie

Začneme napr. s rovnicou zo stĺpca 2. V praxi je vždy výhodné zanalyzovať jednotlivé rovnice, či nám neumožňujú jednoduchý výpočet jednotlivých neznámych v prípade, ak v nich niektorá chýba, resp. umožnia nám realizovať priamu substitúciu neznámej pomocou inej – jedinej neznámej – do inej rovnice a tú jednoducho vyriešiť.

  • 2xB + C + A = 7

Z tejto rovnice nemôžeme zatiaľ priamo vyriešiť jednu neznámu, takže budeme pokračovať s ďalšími rovnicami a pritom sa snažiť eliminovať niektoré neznáme.

Použijeme ďalej rovnicu z riadku 1:

  • 2xA + B + C = 9

Dostali sme tak dve rovnice o troch neznámych A, B a C:

  1. 2xA + B + C = 9 (Riadok 1)
  2. 2xB + C + A = 7 (Stĺpec 2)

Krok 3: Vylúčenie jednej neznámej a určenie hodnoty ďalšej neznámej pomocou inej neznámej (zjednodušenie)

Teraz môžeme odčítať jednu rovnicu od druhej, aby sme eliminovali jednu neznámu. Odčítame druhú rovnicu (stĺpec 2) od prvej (riadok 1):

  • (2xA + B + C) – (A + 2xB + C) = 9 – 7

Zjednodušíme:

  • A – B = 2

Toto nám dáva vzťah medzi neznámymi A a B:

  • A = B + 2

Krok 4: Dosadzovanie a zjednodušovanie v ďalších rovniciach

Teraz môžeme tento vzťah A = B + 2 dosadiť do niektorej z pôvodných rovníc, napríklad do rovnice zo stĺpca 2:

  • 2xB + C + A = 7

Dosadíme A = B + 2:

  • 2xB + C + (B + 2) = 7
  • 3xB + C + 2 = 7
  • 3xB + C = 5

Dostali sme rovnicu 3xB + C = 5.

Túto rovnicu môžeme aplikovať do ďalších rovníc, napríklad dosadiť ju do rovnice zo stĺpca 3 alebo iného riadka, aby sme získali hodnoty ďalších neznámych.

  • A = B + 2
  • 3xB + C = 5

Teraz môžeme použiť tieto rovnice a dosadiť ich do ďalších výrazov.

Riadok 4 má rovnicu:

  • D + A + B + C = 10

Použime A = B + 2 a dosaďme ju do tejto rovnice:

  • D + (B + 2) + B + C = 10
  • D + 2xB + C + 2 = 10
  • D + 2xB + C = 8

Takto sme dostali tri dôležité rovnice:

  1. A = B + 2
  2. 3xB + C = 5
  3. D + 2xB + C = 8

Krok 5: Riešenie sústavy troch rovníc

Použime teraz rovnicu 3xB + C = 5 a dosaďme ju do rovnice D + 2xB + C = 8. Ako výsledok môžeme získať hodnotu pre D.

Z rovnice 3xB + C = 5 vieme, že C = 5 – 3xB, takže to dosadíme do rovnice pre D:

  • D + 2xB + (5 – 3xB) = 8
  • D + 2xB + 5 – 3xB = 8
  • D – B + 5 = 8
  • D – B = 3

Toto znamená, že:

  • D = B + 3

Krok 6: Výpočet hodnôt neznámych

Teraz máme nasledovné vzťahy medzi neznámymi – príšerkami:

  1. A = B + 2
  2. D = B + 3
  3. 3xB + C = 5

Môžeme skúsiť dosadiť konkrétne hodnoty pre B a zistiť hodnoty ostatných neznámych – príšeriek.

Ak by sme skúsili priradiť B = 1 (halloweenská tekvica), môžeme vypočítať hodnoty ostatných príšeriek:

  • A = B + 2 = 1 + 2 = 3 (čarodejnícky klobúk)
  • D = B + 3 = 1 + 3 = 4 (duch)
  • 3xB + C = 5 -> 3x(1) + C = 5 -> C = 5 – 3 = 2 (čarodejnica na metle)

Krok 7: Overenie výpočtu

Riadky:

  1. 2xA + B + C = 9
    • 2x(3) + 1 + 2 = 6 + 1 + 2 = 9 ✔️
  2. 2xD + B + C = 11
    • 2x(4) + 1 + 2 = 8 + 1 + 2 = 11 ✔️
  3. A + B + 2xC = 8
    • 3 + 1 + 2x(2) = 3 + 1 + 4 = 8 ✔️
  4. D + A + B + C = 10
    • 4 + 3 + 1 + 2 = 10 ✔️

Stĺpce:

  1. A + 2xD + C = 13
    • 3 + 2x(4) + 2 = 3 + 8 + 2 = 13 ✔️
  2. 2xB + C + A = 7
    • 2x(1) + 2 + 3 = 2 + 2 + 3 = 7 ✔️
  3. A + D + 2xC = 11
    • 3 + 4 + 2x(2) = 3 + 4 + 4 = 11 ✔️
  4. A + 2xB + C = 7
    • 3 + 2x(1) + 2 = 3 + 2 + 2 = 7 ✔️

Všetky rovnice sú splnené!

Krok 8: Výsledné riešenie

Hodnoty jednotlivých príšeriek teda sú:

  • Čarodejnícky klobúk (A): 3
  • Halloweenská tekvica (B): 1
  • Čarodejnica na metle (C): 2
  • Duch (D): 4

Úloha je vyriešená!

Môže sa zdať, že na základe tohto popisu je celý postup zložitý. Poskytuje nám však systematickú cestu k riešeniu úloh a môže byť obzvlášť užitočný pri zložitejších problémoch, kde je viac neznámych, premenných a ďalších súvislostí, ktoré sa nemusia dať odhadnúť jednoducho. Oba uvedené prístupy v prvom aj druhom článku sú užitočné, a niekedy je dobré vedieť ich aj správne skombinovať – začať odhadom a potom overiť alebo zjednodušiť veci rovnicami. Dôležité je, že sme našli správne riešenie a zároveň sme mali možnosť vyskúšať rôzne metódy!

Nesmieme však zabudnúť na dve dôležité veci. Tou prvou je skutočnosť, že pri riešení matematických úloh – najmä pri písomkách, skúškach, súťažiach, olympiádach apod. – je dôležité a nevyhnutné ukázať aj postup, akým sme sa k danému výsledku dopracovali. A tou druhou – rokmi praxe overenou – je to, že čím viacej času venujete príprave a počítaniu čo najväčšieho počtu príkladov a úloh, postupne sa budete jednoduchšie, rýchlejšie a efektívnejšie dopracovávať k výsledkom. A na to je dobré vždy pamätať!

Páčil sa ti tento príspevok?

Kliknutím na smajlíka ho ohodnotíš.

Priemerné hodnotenie: 5 / 5. Počet hlasov: 1

Zatiaľ žiadne hlasy! Buď prvý, kto ohodnotí tento príspevok.

Pridaj komentár

Vaša e-mailová adresa nebude zverejnená. Vyžadované polia sú označené *

Po škole

Previous article

Halloweenová matika, 1.
Rôzne

Next article

Koruny