Halloweenová matika, 2.
2. Systematický prístup
Krok 1: Vytvorenie sústavy rovníc
Pretože sme si na začiatku jednotlivé príšerky označili písmenami (A, B, C, D), môžeme zostaviť sústavy rovníc tak pre riadky, ako aj pre stĺpce. V oboch prípadoch pôjde o sústavu 4 rovníc o 4 neznámych.
Riadky
- A + B + C + A = 9 -> 2xA + B + C = 9
- D + B + D + C = 11 -> 2xD + B + C = 11
- C + A + A + B = 8 -> 2xA + B + C = 8
- D + A + C + B = 10 -> D + A + B + C = 10
Stĺpce
- A + D + C + D = 13 -> A + 2xD + C = 13
- B + B + C + A = 7 -> 2xB + C + A = 7
- C + D + A + C = 11 -> 2xC + D + A = 11
- A + C + B + B = 7 -> A + 2xB + C = 7
Krok 2: Výber rovníc na riešenie
Začneme napr. s rovnicou zo stĺpca 2. V praxi je vždy výhodné zanalyzovať jednotlivé rovnice, či nám neumožňujú jednoduchý výpočet jednotlivých neznámych v prípade, ak v nich niektorá chýba, resp. umožnia nám realizovať priamu substitúciu neznámej pomocou inej – jedinej neznámej – do inej rovnice a tú jednoducho vyriešiť.
- 2xB + C + A = 7
Z tejto rovnice nemôžeme zatiaľ priamo vyriešiť jednu neznámu, takže budeme pokračovať s ďalšími rovnicami a pritom sa snažiť eliminovať niektoré neznáme.
Použijeme ďalej rovnicu z riadku 1:
- 2xA + B + C = 9
Dostali sme tak dve rovnice o troch neznámych A, B a C:
- 2xA + B + C = 9 (Riadok 1)
- 2xB + C + A = 7 (Stĺpec 2)
Krok 3: Vylúčenie jednej neznámej a určenie hodnoty ďalšej neznámej pomocou inej neznámej (zjednodušenie)
Teraz môžeme odčítať jednu rovnicu od druhej, aby sme eliminovali jednu neznámu. Odčítame druhú rovnicu (stĺpec 2) od prvej (riadok 1):
- (2xA + B + C) – (A + 2xB + C) = 9 – 7
Zjednodušíme:
- A – B = 2
Toto nám dáva vzťah medzi neznámymi A a B:
- A = B + 2
Krok 4: Dosadzovanie a zjednodušovanie v ďalších rovniciach
Teraz môžeme tento vzťah A = B + 2 dosadiť do niektorej z pôvodných rovníc, napríklad do rovnice zo stĺpca 2:
- 2xB + C + A = 7
Dosadíme A = B + 2:
- 2xB + C + (B + 2) = 7
- 3xB + C + 2 = 7
- 3xB + C = 5
Dostali sme rovnicu 3xB + C = 5.
Túto rovnicu môžeme aplikovať do ďalších rovníc, napríklad dosadiť ju do rovnice zo stĺpca 3 alebo iného riadka, aby sme získali hodnoty ďalších neznámych.
- A = B + 2
- 3xB + C = 5
Teraz môžeme použiť tieto rovnice a dosadiť ich do ďalších výrazov.
Riadok 4 má rovnicu:
- D + A + B + C = 10
Použime A = B + 2 a dosaďme ju do tejto rovnice:
- D + (B + 2) + B + C = 10
- D + 2xB + C + 2 = 10
- D + 2xB + C = 8
Takto sme dostali tri dôležité rovnice:
- A = B + 2
- 3xB + C = 5
- D + 2xB + C = 8
Krok 5: Riešenie sústavy troch rovníc
Použime teraz rovnicu 3xB + C = 5 a dosaďme ju do rovnice D + 2xB + C = 8. Ako výsledok môžeme získať hodnotu pre D.
Z rovnice 3xB + C = 5 vieme, že C = 5 – 3xB, takže to dosadíme do rovnice pre D:
- D + 2xB + (5 – 3xB) = 8
- D + 2xB + 5 – 3xB = 8
- D – B + 5 = 8
- D – B = 3
Toto znamená, že:
- D = B + 3
Krok 6: Výpočet hodnôt neznámych
Teraz máme nasledovné vzťahy medzi neznámymi – príšerkami:
- A = B + 2
- D = B + 3
- 3xB + C = 5
Môžeme skúsiť dosadiť konkrétne hodnoty pre B a zistiť hodnoty ostatných neznámych – príšeriek.
Ak by sme skúsili priradiť B = 1 (halloweenská tekvica), môžeme vypočítať hodnoty ostatných príšeriek:
- A = B + 2 = 1 + 2 = 3 (čarodejnícky klobúk)
- D = B + 3 = 1 + 3 = 4 (duch)
- 3xB + C = 5 -> 3x(1) + C = 5 -> C = 5 – 3 = 2 (čarodejnica na metle)
Krok 7: Overenie výpočtu
Riadky:
- 2xA + B + C = 9
- 2x(3) + 1 + 2 = 6 + 1 + 2 = 9 ✔️
- 2xD + B + C = 11
- 2x(4) + 1 + 2 = 8 + 1 + 2 = 11 ✔️
- A + B + 2xC = 8
- 3 + 1 + 2x(2) = 3 + 1 + 4 = 8 ✔️
- D + A + B + C = 10
- 4 + 3 + 1 + 2 = 10 ✔️
Stĺpce:
- A + 2xD + C = 13
- 3 + 2x(4) + 2 = 3 + 8 + 2 = 13 ✔️
- 2xB + C + A = 7
- 2x(1) + 2 + 3 = 2 + 2 + 3 = 7 ✔️
- A + D + 2xC = 11
- 3 + 4 + 2x(2) = 3 + 4 + 4 = 11 ✔️
- A + 2xB + C = 7
- 3 + 2x(1) + 2 = 3 + 2 + 2 = 7 ✔️
Všetky rovnice sú splnené!
Krok 8: Výsledné riešenie
Hodnoty jednotlivých príšeriek teda sú:
- Čarodejnícky klobúk (A): 3
- Halloweenská tekvica (B): 1
- Čarodejnica na metle (C): 2
- Duch (D): 4
Úloha je vyriešená!
Môže sa zdať, že na základe tohto popisu je celý postup zložitý. Poskytuje nám však systematickú cestu k riešeniu úloh a môže byť obzvlášť užitočný pri zložitejších problémoch, kde je viac neznámych, premenných a ďalších súvislostí, ktoré sa nemusia dať odhadnúť jednoducho. Oba uvedené prístupy v prvom aj druhom článku sú užitočné, a niekedy je dobré vedieť ich aj správne skombinovať – začať odhadom a potom overiť alebo zjednodušiť veci rovnicami. Dôležité je, že sme našli správne riešenie a zároveň sme mali možnosť vyskúšať rôzne metódy!
Nesmieme však zabudnúť na dve dôležité veci. Tou prvou je skutočnosť, že pri riešení matematických úloh – najmä pri písomkách, skúškach, súťažiach, olympiádach apod. – je dôležité a nevyhnutné ukázať aj postup, akým sme sa k danému výsledku dopracovali. A tou druhou – rokmi praxe overenou – je to, že čím viacej času venujete príprave a počítaniu čo najväčšieho počtu príkladov a úloh, postupne sa budete jednoduchšie, rýchlejšie a efektívnejšie dopracovávať k výsledkom. A na to je dobré vždy pamätať!
